Задачи на растворы, смеси и сплавы

\(\blacktriangleright\) Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.

Сергей смешал раствор, содержащий \(20\%\) кислоты и раствор, содержащий \(40\%\) той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий \(32,5\%\) кислоты, причём объём полученного раствора \(4\) литра. Сколько литров раствора, содержащего \(20\%\) кислоты, использовал Сергей при смешивании?

Пусть \(x\) литров раствора, содержащего \(20\%\) кислоты использовал Сергей при смешивании, тогда

\(4 - x\) литров раствора, содержащего \(40\%\) кислоты использовал Сергей при смешивании,

\(\dfracx\) – объём кислоты в растворе, содержащем \(20\%\) кислоты, \(\dfrac(4 - x)\) – объём кислоты в растворе, содержащем \(40\%\) кислоты.

Так как в итоге кислоты оказалось \(\dfrac \cdot 4 = 1,3\) литра, то:

\[\dfracx + \dfrac(4 - x) = 1,3,\] откуда находим \(x = 1,5\) .

Один газ в сосуде А содержал \(21\%\) кислорода, второй газ в сосуде В содержал \(5\%\) кислорода. Масса первого газа в сосуде А была больше массы второго газа в сосуде В на 300 г. Перегородку между сосудами убрали так, что газы перемешались и получившийся третий газ теперь содержит \(14,6\%\) кислорода. Найдите массу третьего газа. Ответ дайте в граммах.

Пусть \(x\) грамм – масса второго газа, тогда

\(x + 300\) грамм – масса первого газа,

\(\dfrac(x + 300)\) грамм – масса кислорода в первом газе,

\(\dfracx\) грамм – масса кислорода во втором газе,

тогда масса кислорода в третьем газе составляет \(\dfrac(2x + 300)\) грамм.

Так как третий газ возник в результате смешивания первого и второго, то:

\[\dfrac(x + 300) + \dfracx = \dfrac(2x + 300),\] откуда находим \(x = 600\) . Таким образом, масса третьего газа равна \(600 + 600 + 300 = 1500\) грамм.

Иван случайно смешал молоко жирностью \(2,5\%\) и молоко жирностью \(6\%\) . В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью \(4,6\%\) . Сколько литров молока жирностью \(2,5\%\) было у Ивана до смешивания?

Пусть \(x\) литров молока жирностью \(2,5\%\) было у Ивана, тогда

\(5 - x\) литров молока жирностью \(6\%\) было у Ивана,

\(\dfracx\) – объём жира в молоке жирностью \(2,5\%\) , \(\dfrac(5 - x)\) – объём жира в молоке жирностью \(6\%\) .

Так как в итоге жира оказалось \(\dfrac \cdot 5 = 0,23\) литра, то:

\(\dfracx + \dfrac(5 - x) = 0,23\) , откуда находим \(x = 2\) .

В сосуде А содержится 3 литра 17-процентного водного раствора вещества Х. Из сосуда В в сосуд А перелили 7 литров 19-процентного водного раствора вещества Х. Сколько процентов составляет концентрация полученного в сосуде А раствора?

Концентрация в процентах – это отношение объёма вещества к объёму смеси, умноженное на 100 \(\%\) . До переливания в сосуде А было \(3 \cdot 0,17 = 0,51\) литра вещества Х, в сосуде В было \(7 \cdot 0,19 = 1,33\) литра вещества Х.

После переливания объём вещества Х в сосуде А стал \(0,51 + 1,33 = 1,84\) литра, а объём всего раствора \(3 + 7 = 10\) литров. Тогда концентрация в процентах составила \[\dfrac \cdot 100\% = 18,4\%.\]

Во сколько раз больше должен быть объём \(5\) -процентного раствора кислоты, чем объём \(10\) -процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить \(7\) -процентный раствор?

Пусть объём \(5\) -процентного раствора кислоты равен \(x\) литров, а объём \(10\) -процентного раствора равен \(y\) литров, тогда требуется найти значение величины \(\dfrac\) при условии \[0,05x + 0,1y = 0,07(x + y) \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac = \dfrac = 1,5\,,\] таким образом, ответ: \(1,5\) .

Во сколько раз больше должен быть объём \(20\) -процентного раствора кислоты, чем объём \(14\) -процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить \(18\) -процентный раствор?

Пусть объём \(20\) -процентного раствора кислоты равен \(x\) литров, а объём \(14\) -процентного раствора равен \(y\) литров, тогда требуется найти значение величины \(\dfrac\) при условии \[0,2x + 0,14y = 0,18(x + y) \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac = 2\,,\] таким образом, ответ: \(2\) .

Смешав \(25\) -процентный и \(95\) -процентный растворы кислоты и добавив \(20\) кг чистой воды, получили \(40\) -процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(20\) кг воды добавили \(20\) кг \(30\) -процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(50\) -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(25\) -процентного раствора использовали для получения смеси?

Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий \(0\%\) кислоты.Пусть \(x\) кг – масса раствора с \(25\) -процентным содержанием кислоты, \(y\) кг – масса раствора с \(95\) -процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение \(40\) -процентного раствора:

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.Если раствор весит \(x\) кг, а в нем \(25\%\) кислоты, то в килограммах в нем \(\dfrac\cdot x\) кислоты.

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

Аналогично составим схему, описывающую получение \(50\) -процентного раствора:

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем \(x\) . Для этого можно умножить оба уравнения на \(100\) , чтобы сделать их проще на вид:

\[\begin 25x+95y+0=40(x+y+20)\\ 25x+95y+30\cdot 20=50(x+y+20) \end\]

Вычтем из второго уравнения первое и получим новую систему:

\[\begin &\begin 25x+95y=40(x+y+20)\\ 30\cdot 20=10(x+y+20) \end \quad \Rightarrow \quad \begin 5x+19y=8(x+y+20)\\ y=40-x \end \quad \Rightarrow \\[2ex] \Rightarrow \quad &\begin 3x-11(40-x)+160=0\\ y=40-x \end \quad \Rightarrow \quad \begin x=20\\y=20\end \end\]