2. Кинематические характеристики вращательного движения вокруг неподвижной оси: угловая скорость, угловое ускорение.

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения. Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО' (рис. 2.12).

Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время dt точка М совершает элементарное перемещение dr. При том же самом угле поворота dφ, другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояние, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого тела, ни первая производная , ни вторая производная не могут служить характеристикой движения всего твердого тела. За это же время dt радиус-вектор R, проведенный из точки 0' в точку М, повернется на угол dφ. На такой же угол повернется радиус-вектор любой другой точки (т.к. тело абсолютно твердое, в противном случае расстояние между точками должно измениться). Угол поворота dφ характеризует перемещение всего тела за время dt. Удобно ввести – вектор элементарного поворота тела, численно равный dφ и направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы, глядя вдоль вектора, мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора и направление вращения связаны «правилом буравчика»). Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:

Угловая скорость вращения тела

Угловой скоростью тела в данный момент t называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость , если стремится к нулю.

Угловая скорость твердого тела является первой производной от угла поворота по времени.

Размерность: [радиан/время]; [1/время]; [1/сек = ].

Угловую скорость можно изображать вектором. Вектор угловой скорости направляют по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.

Если угловая скорость не является постоянной величиной, то вводят еще одну характеристику вращения - угловое ускорение.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени угловая скорость получает приращение , то среднее угловое ускорение равно

вращение, - один из простейших видов движения твёрдого тела. В. д. вокруг неподвижной оси - движение, при к-ром все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, перпендикулярной к плоскостям этих окружностей и наз. осью вращения. Скорость произвольной точки тела v = [w, r], где w - угловая скорость тела, г - радиус-вектор, проведённый в точку из центра описываемой ею окружности.Угловое ускорение тела e = М/I, где М - момент внеш. сил относительно оси вращения, I - момент инерции тела относительно той же оси.

В. д. вокруг неподвижной точки - движение, при к-ром все точки тела движутся по поверхностям концентрич. сфер с центрами в неподвижной точке. В каждый момент времени это движение можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через неподвижную точку. Скорость произвольной точки тела v = [to, г], здесь г - радиус-вектор, проведённый в точку из неподвижной точки тела. Основной закон динамики: dL/dt = М, где L - момент импульса тела относительно неподвижной точки, М - момент относительно той же точки всех внеш. сил, приложенных к телу, наз. главным моментом внешних сил. Этот закон справедлив также для вращения твёрдого тела вокруг его центра инерции независимо от того, покоится последний или движется произвольно. Теория В. д. имеет многочисл. приложения в небесной механике, внеш. баллистике, теории гироскопа, теории машин и механизмов.

Пройденный путь S , перемещение dr, скорость v , тангенциальное и нормальное ускорение at, и an, представляют собой линейные величины. Для описания криволинейного движения наряду с ними можно пользоваться угловыми величинами.

Рассмотрим более подробно важный и часто встречаемый случай движения по окружности. В этом случае наряду с длиной дуги окружности движение можно характеризовать утлом поворота φ вокруг оси вращения. Величину

называют угловой скоростью. Угловая скорость представляет собой вектор, направление которого связывают с направлением оси вращения тела (рис.).

Обратим внимание на то, что, в то время как сам угол поворота φ является скаляром, бесконечно малый поворот dφ — векторная величина, направление которой определяется по правилу правой руки, или буравчика, и связано с осью вращения. Если вращение является равномерным, то ω=const и точка на окружности поворачивается на равные углы вокруг оси вращения за равные времена. Время, за которое она совершает полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π, называется периодом движения Т. Выражение (1.15) можно проинтегрировать в пределах от нуля до Т и получить угловую частоту

Число оборотов в единицу времени есть величина, обратная периоду, — циклическая частота вращения

ν =1/T. (1.17)

Нетрудно получить связь между угловой и линейной скоростью точки. При движении по окружности элемент дуги связан с бесконечно малым поворотом соотношением dS = R·dφ. Подставив его в (1.15), находим

v = ωr. (1.18)

Формула (1.18) связывает величины угловой и линейной скоростей. Соотношение, связывающее векторы ω и v, следует из рис. А именно, вектор линейной скорости представляет собой векторное произведение вектора угловой скорости и радиуса-вектора точки r:

Таким образом, вектор угловой скорости направлен по оси вращения точки и определяется по правилу правой руки или буравчика.

Угловое ускорение — производная по времени от вектора угловой скорости ω (соответственно вторая производная по времени от угла поворота)

Выразим тангенциальное и нормальное ускорение через угловые скорости и ускорение. Используя связь (1.18),(1.12) и (1.13), получаем

at = β·R, a =ω 2 ·R. (1.20)

Таким образом, для полного ускорения имеем

Величина β играет роль тангенциального ускорения: если β = 0.полное ускорение при вращении точки не равно нулю, a =R·ω 2 ≠ 0.

3. Динамика поступательного движения. Законы Ньютона. (Савельев И.В. Т.1 § 7, 9, 11). Основные физические величины и их размерности. (Савельев И.В. Т.1 § 10). Виды сил в механике. (Савельев И.В. Т.1 § 13–16).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.