Молекулярные токи, их связь с вектором намагниченности
Магнитное поле, подобно полю электрическому может быть макроскопическим и микроскопическим. Микроскопическое поле возникает в результате движения элементарных зарядов в веществе. Макроскопическое поле -- результат усреднения микроскопических полей по бесконечно малым объемам пространства. Вращения электронов и ядер атомов по отношению к создаваемому ими магнитному полю эквивалентны токам, которые текут в атомах вещества. Средняя плотность такого тока в веществе равна нулю, переноса электрического заряда на макроскопические расстояния не происходит.
Итак, токи эквивалентные тем, которые возникают при движении элементарных зарядов в молекулах и атомах вещества, называют молекулярными токами.
В ненамагниченных магнетиках молекулярные токи распределены хаотично, их магнитные поля в среднем взаимно компенсируют друг друга. Намагниченный магнетик можно характеризовать упорядоченным характером молекулярных токов, благодаря чему результирующее магнитное поле вещества не равно нулю.
В тех магнетиках, которые являются проводниками (например, металлы) различают токи проводимости (плотность тока проводимости $\overrightarrow$), которые относят к упорядоченному движению заряда в макроскопическом понимании (например, движению свободных электронов в металле) и молекулярные токи ($\overrightarrow$), тогда микроскопическую плотность тока ($\overrightarrow$) в среде вычисляют как:
Часто предполагают, что отличие токов проводимости от молекулярных токов в том, что молекулярные токи замыкаются внутри микроскопически малых объектов пространства. Подобное разделение токов на два типа упрощает вывод макро уравнений поля из посылок электронной теории.
Молекулярные токи и индукция магнитного поля
Для того, чтобы вычислить индукцию макроскопического поля молекулярные токи заменяют макроскопическими токами, которые непрерывно изменяются в пространстве. Такие токи имеют название токов намагничивания. Дальше эти плотность этих токов будем обозначать $\overrightarrow$. Плотность токов проводимости будем обозначать $\overrightarrow$. Так получаем, что магнитное поле порождается токами проводимости и токами намагничивания. Если известны эти токи, то можно вычислять индукцию поля $\overrightarrow,$ используя формулы для вакуума. В таком случае теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля будет иметь вид:
или в дифференциальной форме:
где I -- ток проводимости, $I_m$ -- ток намагничивания, полные токи, которые пронизывают контур L.
Итак, возникновение магнитных моментов связано с наличием круговых токов. Токи в элементарных объемах, которые приводят к возникновению магнитных моментов, назвали молекулярными токами. Однако не следует воспринимать этот термин буквально. Молекулярные токи, строго говоря, могут течь только внутри молекулы. При определении намагниченности и других параметров имеют в виду усредненные величины. Магнитные моменты представляют размазанными по объему вещества, а молекулярные токи текущими по всему объему.
Намагниченность
Для характеристики состояния намагниченного состояния магнетика используют вектор намагниченности $(\overrightarrow)$.
Намагниченностью ($\overrightarrow$) называют физическую величину, которая равна:
где $\triangle V$ -- элементарный объем, $\overrightarrow$ -- магнитные моменты молекул, суммирование осуществляется по всем молекулам в объеме $\triangle V$. Из формулы (4) имеем, что:
Связь намагниченности с молекулярными токами
Рассмотрим бесконечно маленький замкнутый контур L, который ограничивает элемент площади $\triangle S$ (рис.1). Вычислим циркуляцию намагниченности ($\overrightarrow$) по контуру:
где $J_$- тангенциальная составляющая вектора намагниченности вдоль контура L. Эта составляющая возникает за счет токов, которые текут по замкнутым контурам вокруг линии, вдоль которой проводится интегрирование. Умножим и разделим правую часть выражения (6) на величину $\delta S$ (площадь которую обтекает ток в плоскости, которая перпендикулярная линии интегрирования), проведем преобразования в том числе используя выражение (5):
В соответствии с определением магнитного момента ($p_m=IS\to _m=\delta I\delta S,\ $)$\ где\ \delta I\ сила\ тока,\ который\ обтекает\ площадку\ \ \delta S,$ причем$\ \delta I$ пересекает $\triangle S$ по нармали. Получаем из (7):
где $\triangle I_n$- нормальная составляющая силы тока, которая пересекает площадку $\triangle S.$ В результате мы получили:
Из выражения (9) легко получить:
Формула (10) -- выражение для объемной плотности молекулярных токов, которые являются причиной намагниченности $\overrightarrow$.
Молекулярные токи могут течь и по поверхности раздела меду магнетиками или между магнетиком и вакуумом. Тогда поверхностная плотность молекулярного тока ($i_=\frac$) равна:
где $\overrightarrow$ -- единичные вектор нормали к поверхности раздела, направленные во вторую среду.
Готовые работы на аналогичную темуЗадание: Получите формулу, связывающую объемную плотность молекулярных токов и вектор намагниченности ($\overrightarrow=rot\overrightarrow$).
Найдем составляющую ротора вектора намагниченности в направлении нормали к площадке $\triangle S\ (рис.1)$. Используем определение ротора и равенство (1.1):
$j_$-- нормальная составляющая плотности молекулярных токов. Это логично, так как именно они отвечают за возникновение намагниченности.
Равенство (1.2) выполняется при любой ориентации площадки $\triangle S,$ то есть для любых компонент $rot\overrightarrow\ $и $\overrightarrow$. Следовательно, имеет место равенство:
Задание: Покажите, что поля постоянного магнита в виде цилиндра и поле соленоида с током эквивалентны.
Найдем поверхностную плотность молекулярного тока однородного намагниченного цилиндра (рис.2), который является постоянным магнитом.
Намагниченность цилиндра ($\overrightarrow$) изображена на рис.2 стрелкой. В вакууме намагниченность равна нулю $J_2=0.$ Нормаль $\overrightarrow$ -- внешняя нормаль к цилиндру. В соответствии с формулой:
плотность поверхностного молекулярного тока, который течет по цилиндру, равна:
\[\overrightarrow=\overrightarrow\times \left(-\overrightarrow\right)=\overrightarrow\times \overrightarrow\left(2.2\right).\]
Одна из линий тока показана как окружность со стрелкой. Намагниченность $\overrightarrow$ составляет с текущим по поверхности током правовинтовую систему. Из формулы:
следует, что объемные молекулярные токи внутри цилиндра отсутствуют.
Ответ: Поле вне цилиндра создано поверхностными молекулярными токами, которые текут по окружностям. Этим доказано, что поля постоянного цилиндрического магнита и поле соленоида эквивалентны.