Урок-исследование по теме: "Построение графика квадратной функции, содержащей модуль"

Пример 1. Построить график функции у = х 2 - 6х + 3. Найти нули функции.

1. Направление “ветвей” параболы: если а = 1, а > 0, то “ветви” параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы: х= - b/2а = - (-6)/2=3, у(3) = 9 – 18 + 3 = - 6, А(3; -6).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Нули функции: у(х) = 0, х 2 - 6х + 3 = 0, D = 36 - 4·3 = 36 – 12 = 24, D>0,

x 1,2 = (6 ± )/2 = 3 ± ; В(3 - ;0), С(3 + ;0).

Алгоритм построения графика квадратной функции.

1. Определить направление “ветвей” параболы.

2. Вычислить координаты вершины параболы.

3. Записать уравнение оси симметрии.

4. Вычислить несколько точек.

б) Рассмотрим построение графиков линейных функций, содержащих модуль:

1. у = |х|. График функции на рисунке 2.

2.у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.

3. у = |х + 1|. График функции рисунке 4.

1. График функции у = |х| + 1 получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор .

2. График функции у = |х + 1| получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор .

Этап исследовательской работы. Работа в группах.

Группа 1. Построить графики функций:

1.Построить график функции у = х 2 -6х+3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Оу.

График на рисунке 5.

б) 1. Построить график функции у = х 2 - 6х + 3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 6.

1. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.

2. График функции у = |f(x)| получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.

Группа 2.Построить графики функций:

1. График функции у = х 2 + 6x + 3 отображаем относительно оси Оу, получается график функции у = х 2 - 6|x| + 3.

2. Полученный график отображаем симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 7.

График функции y = |f (|x|)| получается из графика функции у = f(х), последовательным отображением относительно осей координат.

1. График функции у = х 2 - 6х + 3 отображаем относительно оси Ох.

2. Полученный график переносим на вектор .

График функции на рисунке 8.

Вывод. График функции у = |f(x)| + a получается из графика функции у = |f(x)| параллельным переносом на вектор .

Группа 3.Построить график функции:

а) у = |x|(х - 6) + 3; б) у = х|x - 6| + 3.

а) у = |x| (x - 6) + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = -х 2 + 6x + 3 при х < 0 для точек у(0) = 3, у( - 1) = - 4.

График функции на рисунке 9.

б) у = х |х - 6| + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = - х 2 + 6х + 3 при х 6.

1. Направление “ветвей” параболы: а = - 1, а < 0, “ветви” параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы: х = - b/2a = 3, у(3) =1 2, А(3;12).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = - 4.

Строим график функции у = х 2 - 6х + 3 при х = 7 у(7) = 10.

График на рис.10.

Вывод. При решении данной группы уравнений необходимо рассматривать нули модулей, содержащихся в каждом из уравнений. Затем строить график функции на каждом из полученных промежутков.

(При построении графиков данных функций каждая группа исследовала влияние модуля на вид графика функции и сделала соответствующие заключения.)

Получили сводную таблицу для графиков функций, содержащих модуль.

Таблица построения графиков функций, содержащих модуль.

2. Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Ох.

3. Последовательно отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно осей координат.

Группа 4.

Построить график функции:

а) у = х 2 - 5x + |x - 3|;

б) у = |x 2 - 5x| + x - 3.

а) у = х 2 - 5х + |х - 3|, переходим к совокупности систем:

Строим график функции у = х 2 -6х + 3 при х 3, затем график функции у = х 2 - 4х - 3 при х > 3 по точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.

График функции на рисунке 11.

б) у = |х 2 - 5х| + х - 3, переходим к совокупности систем:

Строим каждый график на соответствующем интервале.

График функции на рисунке 12.

Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на вид графика.

Построить график функции:

Предыдущие графики отображаем относительно оси Ох.

Группа.5

Построить график функции: у =| х - 2| (|x| - 3) - 3.

Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0. Получим интервалы постоянного знака.

Имеем совокупность систем уравнений:

Строим график на каждом из интервалов.

График на рисунке 15.

Вывод. Два модуля в предложенных уравнениях существенно усложнили построение общего графика, состоящего из трех отдельных графиков.

Учащиеся записывали выступления каждой из групп, записывали выводы, участвовали в самостоятельной работе.

Построить графики функций с различным расположением модуля:

1. у = х 2 + 4х + 2;

2. у = - х 2 + 6х - 4.

1.Оценки за урок складываются из отметок:

а) за работу в группе;

б) за самостоятельную работу.