Определение суммы скалывающих сил на участке железобетонного стержня с переменной высотой через изгибающие моменты Текст научной статьи по специальности «Физика»

Текст научной работы на тему «Определение суммы скалывающих сил на участке железобетонного стержня с переменной высотой через изгибающие моменты»

41нж. Д. В. Романов.

Определение суммы скалывающих сил на участке жшобшнвош с

Читая новейшую литературу по железо-бетону, рассматривающую вопрос о нахождении скалывающих сил через моменты1), л пришел к некоторым новым, точным и простым выводам при стержнях с переменной высотой, которые предлагаю вниманию. Для ясности и цельное»и изложения начнем с известных уже трудами Löser'a положений для стержней с постоянной высотой h, упрощая и уточняя во многом вопрос.

1) Связь между М и Q.

Из теории сооружений известно, что в сечении изогнутого стержня

т. г. dM —Q.dx, где Q — перерезывающая сила.

Взяв какой либо участок стержня с абсциссами а и Ь, длиной Ь—а—с? мы найдем, что (черт. 1)

Мь - M* ДМ = [Ь Q.dx == ;. (2)

ак Г Q.dx есть площадь эшоры Q в пределах участка. Таким Ja

образом площадь зпюры перерезывающих сил на участке равна приращению момента в пределах этого участка.

2) Скалывающие силы и касательные напряжения в стержне постоянного

В любом сечении сумма растягивающих напряжений, или так называемая внутренняя растягивающая сила (черт. 2).

О l.-B. Löh*г BMii^suiigHv^rfiibrvn. . 1025, S. 66-94. 2 К Mörsch. D"r Kis nbtonb>u. 192'.

3. Р. Зялигер. Железобетон (перевод) 19^7 г ? стр. 344—382.

4. 1W henbucli für В;ш mg пЬ иге. 4. Aufl.

ö. F Weil „labellen für raechen Ermittlung der Schubbewehrimg .. Beton und

Eisen 19 6. H.ft п. 0. H. As Буданов. Железо-бетон 1925. стр. 119—160.

где ъ есть расстояние между центром растяжения и центром сжатия, вли так наз. плечо внутренних сил. При неучете бетона на растяжение это есть расстояние до центра арматуры от центра сжатия. Величина 2 зависит от формы сечения и степени насыщения арматурой. При постоянном сечении она постоянна.

Веря производную по абсциссе х, получаем:

(1 Ъ _ 1 с! М (3 х ъ с! х

Но приращение растягивающей силы равно скалывающей силе по нейтральному слою на длине <1х (черт. 3), т. и.

Касаюльное напряжение буд< т равно

Ь Ь. ъ. (I х Ь - г По этой формуле оно обычно и определяется.

В ж. б. стержнях важно бывает найти сумму скалывающих сил на участке. Она будет равна

1Т - Ъъ-Ъя- 1 (М,,-\и 1 АМ . (5)

Таким образом, сумма скалывающих сил по нейтральному слою, на участке изогнутого стержня постоянного сечения, равна приращению внутренних сил на участке или, что тоже, приращению момента, деленному на плечо внутренних сил.

Это положение, выведенное Ьоэег'ом для стержней постоянного сечения, значительно облегчает труд по расчету ж/бет. конструкций, т. к. сумма скалывающих сил, нужная для расчета хомутов и отогнутых стержней, вычисляется непосредственно из изгибающих моментов без вычисления перерезывающих сил, т е. работа значительно сокращается. Величины же М все равно нужно находить для подбора сечений.

Зная £Т, легко найти потребную площадь хомутов и отогнутых стержней. Если не учитывать работу бетона на скалывание, как это требуется нашими нормами по ж/бет.. то

]) В. Ьозег. Bemes8ung8verfahren. . 1925.

Здесь Fi, — площадь поперечного сечения хомутов на участке; Fs—площадь отогнутых стержней в пределах его, <зе—допускаемое напряжение железа на растяжение, а ß —угол между осыо отогнутого стержня и линией идущей под 45°. Чаще всего стержни отгибаются под ¿/45°, т. е. ^ £ — 0, cosß— 1. Задаваясь количеством хомутов, т. е. плошадью их Ръ, находим потребную площадь отогнутых стержней.

Для облегчения подсчетов Р. Weil составил таблицы1).

3) Скалывающие напряжения в стержнях с переменной высотой.

У ж/бет. стержня по его длине может меняться высота h, ширина b и количество железа Ре . В отношении подсчета скалывающих сил, нам важно только изменение величины z —плеча внутренних сил.

В стержне прямоугольного сечения z от b не зависит. Оно зависит, главным образом, только от высоты h и слабее от Ре - При чем количество железа всегда меняется скачками по участкам и? таким образом, вообще говоря, всегда можно выбрать участок с Ре — const. Можно принять z = kh, где к колеблется от 0,67 —- 1,00, как крайние пределы; обычно же

Для любого сечения будем иметь:

Если считать коэффициент к в пределах исследуемого участка постоянным, то дифференцируя выражение (7) получим:

ЛГ7 k.h.dM — M.kdh dM M.dh

Отсюда прямо получаем известную формулу для скалывающих напряжений:

тангенс угла между касательными к контуру полезной высоты стержня (черт. 4) или, что тоже, к контуру полной высоты, т. к. арматура почти всегда укладывается параллельно грани стержня. При прямой вуте это (черт. 5) будет уклон ее, так как

См, его статью в Beten u. Eisen. 1926 Heft 11. а) .Taschenbuch für Baumgeniturc" 4 Aufl. S.987.

В формулу (9) для х все величины Q, М и ig* вставляются со своими знаками.

Если h растет, считая всегда слева направо, то производная

— — tga будет положительна и наоборот. Кроме того из форм. (11) для dx %

прямой вуты сразу видно, что если ha^£ho, т. е. высота растет, то tga положителен и т. д. '

Например, для левого защемленного конца балки (черт. 6) высота будет убывающей, т. е. igt —

отрицателен и если AI тоже отрицателен, то в численных величинах, в форм (9) во втором члене знак (—) сохранится. Для аналогичного правого конца (черт. 7) высота будет возрастающей, т. е. tga положителен и если момент отрицателен, то в форм. (9), во втором чаене получим знак (-)--)• Но так как перерезывающая сила будет при этом отрицате 1ьна, то, вынося знак (—) за скобки, получим в скобках разность между величинами и т. д. В случае вутного утолщения не снизу, а сверху, или сверху и снизу одновременно (черт. 4), рассуждения не меняются. При изменении высоты по кривой, tga получается по уравнению

Например (черт. 8), параболическая вута. Высота h меняется по уравнению:

h„ — * • х ( 2а — х). а*

Тогда — -v-• --- — • (а—x) и, положим при х = о, будем йють их а *

tga, = — - t величина отрицательная), а

Я нарочно остановился на вопросе о знаках в форм. (9) более подробно, т. к в литературе нет исчерпывающих указаний, и поэтому в практической работе выявляется зачастую неясность.

4) Нахождение ХТ на участке с произвольным изменением высоты

(по исследованиям автора).

Определим зависимость между суммой скалывающих усилий па участке с переменной высотой и изгибающими моментами. Существующая для эгого формула Lösera (см. указанный его труд сгр. 72) неудовлетворительна, так как она приближенна и сложна. Попытаемся найти точную зависимость. Д )я этого нужно проинтегрировать наше уравнение (8J в пределах участка, от о до а.

иле, считая к—const, (см. выше),

К сожалению мы лишены приятной возможности решить эти интегралы в самом общем виде, так как М и h, каждая порознь, имеют свои функциональные зависимости от х. Кроме того М зависит еще от характера распределения нагрузки. Поэтому задалимся этими зависимостями, т.е. решим задачу идя от частного к общему.

а) В случае стержня равного сопротивления (более общий случай) высоту h можно выразить при b—const.

при чем с— const.

M. ; подставляя в уравнение (12) имеем:

Произведя подстановку, получаем

tw • Ма h„ • М„ k h.2 k h,a

Но у нас kha — ; khu — z„ , т. e.

Получилось очень важное соотношение, что сумма скалывающих ейл на участке переменной высоты равна разности между моментами на границах его, деленными на гнои плечи внутренних сил, т. е. равна приращению внутренних сил в каждой зоне При чем она совершенно не зависит от промежуточного изменения Ь и М.

Проверим это положение на других более частных случаях.

в) Пусть М меняется по параболе 2 й степени, а Ь по прямой (чер. 9).

В этом случае момент в любом сечении может быть представлен в виде

М — - (Ма — М(> ) М0 -т - х Га—х). а а2

Обозначая М* — М„ = д М( ; — = с, получаем

а дифференциал М будет

Далее, в случае изменения 11 по прямой,

Подставля полученные величины в основное выражение (12) для 2Т и решая каждый интеграл отдельно, получим: