Необходимые условия существования представления Лакса для систем кирального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Баландин Александр Владимирович
Получены новые инвариантные необходимые условия существования представления Лакса для систем кирального типа.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Баландин Александр Владимирович
NECESSARY CONDITIONS FOR LAX REPRESENTATION OF CHIRAL TYPE SYSTEMS
Some new invariant necessary conditions for Lax representation of chiral type systems have been obtained.
Текст научной работы на тему «Необходимые условия существования представления Лакса для систем кирального типа»
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛАКСА ДЛЯ СИСТЕМ КИРАЛЬНОГО ТИПА
© 2011 г. А.В. Баландин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 28.04.2011
Получены новые инвариантные необходимые условия существования представления Лакса для систем кирального типа.
Ключевые слова: интегрируемые системы, системы кирального типа, нелинейные сигма-модели, представление Лакса.
В работе изучаются представления Лакса систем кирального типа, т.е. систем п дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными следующего вида:
К + ГД и и + б' = 0, (1)
здесь и далее индексы ',],к,т принимают значения от 1 до п; функции Г^, ^ являются гладкими функциями переменных ит. Связность, определенную коэффициентами Г^, будем называть ассоциированной с системой связностью. Системы вида (1), имеющие вариационное происхождение, называются общими нелинейными сигма-моделями.
В настоящей работе представление Лакса системы в частных производных вида (1) со значениями в алгебре Ли g будем понимать следующим образом.
Пусть G - полупростая г-мерная группа Ли с
алгеброй Ли g и базисом левоинвариантных
форм Ф:. Далее греческие индексы а, в, у принимают значения от 1 до г. Тогда, как известно, справедливы структурные уравнения Маурера-Картана:
с1Фа = С“ФТ л Фв, (2)
где Сру = - 2 С ру и С ру - структурные константы алгебры Ли g относительно базиса, двойственного к базису форм Ф:.
Определение 1. Будем говорить, что система (1) допускает представление Лакса со значения-
ми в алгебре Ли g, если существует набор гладких функций Аа = А: (и', Х)Щ + М “ (и', А,),
Ва = В: (и', Х)и^ + N: (и', А) (здесь X - произвольный параметр), таких, что подстановка форм Ф: = А:йх + Вайу в уравнения (2) при каждом значении параметра X приводит к системе, эквивалентной системе (1).
Далее будем использовать следующие обозначения: = |(А,“ -В,“),Р“ = \(А* + В,“).
Замечание 1. Подстановка форм Ф: = Аайх + + Ва йу в уравнения (2) не может привести к более чем г уравнениям. Поэтому размерность системы не может превосходить размерности алгебры Ли. Другими словами это означает, что
ранг матрицы Я' равен п.
Замечание 2. Непосредственная проверка показывает, что при калибровочных преобразованиях представления Лакса матрицы Я]а, М:,
Nа преобразуются в подобные матрицы, а коэффициенты матрицы Р а преобразуются по закону преобразования связности. Поэтому тензорные поля, представляющие собой а^ инвариантные функции от , Ма, Nа и от
тензора кривизны-кручения связности, определенной матрицей Р , являются инвариантами представления Лакса относительно калибровочных преобразований. Особый интерес представляет выяснение геометрического смысла указанных тензорных полей.
Теорема 1. Пусть система (1) допускает представление Лакса со значениями в полупро-стой г-мерной алгебре Ли g. Тогда существует k раз ковариантное тензорное поле К н ( , которое является полем Киллинга относительно ассоциированной связности, причем ^г.
Доказательство. В работе [1] указан способ, позволяющий каждому представлению Лакса системы (1) сопоставить бесконечный набор тензорных полей Киллинга. Этот способ заключается в том, что каждому ad-инвариантному симметрическому однородному полиному f степени 5 на алгебре g ставится в соответствие тензорное поле К^ ранга 5, определенное равенством:
Покажем, что существование представления Лакса со значениями в g означает, что существуют ^г и ad-инвариантный симметрический однородный полином f степени k, такой, что тензорное поле Киллинга К н ( Ф 0. Доказательство несложно получить методом от противного. Предположим, что это не так. Зафиксируем в точке Р=(ху,и) базис в g так, что S1 (Р) = е1. Тогда, в частности, для всех ad-инвариантных многочленов fs на g степени 5<г справедливо равенство f(е1,е1. е1) = 0. Как известно, многочлены fr_ (а) (а є g ), опреде-
ленные равенствами \Ud _ ada = 1 f,_i (а'Ж _'
являются агї-инвариантньїми симметрическими и однородными. Поэтому в силу предположения ^_ (е1) = 0. Тем самым доказано, что оператор adel является скалярным, т.е. коммутирует со всеми элементами из g. Последнее условие противоречит полупростоте алгебры g.
Нетрудно видеть, что теорема 1 может быть переформулирована следующим образом.
Следствие 1. Необходимым условием, чтобы система (1) допускала представление Лакса со значениями в г-мерной алгебре Ли, является существование полиномиального интеграла геодезических порядка 5<Г.
Замечание 3. Из теоремы 1 следует, что свойство системы (1) быть интегрируемой в первую очередь определяется ассоциированной связностью.
Теорема 2. Для того, чтобы система (1), удовлетворяющая условию Q = ^) Ф 0, допускала представление Лакса со значениями в г-мерной алгебре Ли g, необходимо существование тензорного поля Киллинга Кк ^ і (р<г),
такого, что выполнены равенства
= Lq (K,i2. ik )Q; Qi2. Qik,
где Lq обозначает производную Ли вдоль векторного поля Q.
Доказательство. Приведем необходимые соотношения (см. [1]), которым удовлетворяют
функции Pа S“,Mа, Nа, определяющие представление Лакса системы (1):
SaQ; = C^MT Ne | [M, N ]а,
где для обозначения умножения в алгебре g используется обозначение [,]. Далее будет удобно преобразовать уравнение (4) к виду
VkSj + [Sj, Pk];= D]k, (5)
где v kS :=S ik - те, d] ) =О.
Учитывая (5) и равенство LqS“ = QJS^j + + SQ , находим LqS“ = S“(Q‘ + j) +
+ D“ ) Q1 ([S., Pj ]; + D.j). Вычисляя Lq ( k^.,),
получим равенство Lq (f (Sh, St . St )) =
= f (LQSil, Si2. ^ )+ f (Si1 , LQSi2. Sik )+- + f^
St . LqS ). Теперь, учитывая ad-инвариантность и симметричность полинома f, приходим
Замечание 4. Нетрудно видеть, что представление Лакса системы n уравнений со значениями в n-мерной алгебре Ли удовлетворяет условию | S“ | ф О . Поэтому для таких представлений Лакса тензорное поле Киллинга ранга 2, соответствующее форме Киллинга на алгебре Ли, является невырожденным. Действительно, пусть K. = hap S“SJ, где hap - коэффициенты формы Киллинга относительно базиса в алгебре Ли, двойственного к базису форм Ф;. Тогда | К. |=| haP |det( S“)det (SJ) ф О.
Рассмотрим следующий пример. В [2] показано, что система
Щу - sin U3U2U1 + a sin U3 = 0
допускает представление Лакса со значениями в алгебре so(3), которое имеет следующий вид:
dФ = ФЛФ , где Ф = - Ф3 О Ф1
Ф1 = (- cos UU - sin U2 sin Uъи\ )dy +
+ iM1dx, M1 = a sin U3 sin U2,
Ф2 = (sinU3 cosU2Uly - sinU2Uy3)dy +
+ iM2 dx, M2 = a sin U3 cos U2,
Ф3 = (- cos U 3U1 - Uy2)dy +
+ i(M3 dx + dy), M3 = a cos U3.
В соответствии с замечанием 4 построим тензорное поле Киллинга ранга 2, соответствующее форме Киллинга, которая определяется коэффициентами 5ар. Находя матрицу S']' из формул (6), получим, что матрица Kj имеет
Исходная система дифференциальных уравнений определяет векторное поле Q = (0,
0,sinU3). Вычисляя правую часть равенства (3), получим Lq(Kij)Q'QJ = Lq(K33)a2sin2 U3 = =2 a3 sin2 U3 cosU3. Для левой части (3) имеем равенства 2VQQi KiJQJ =2VqQ3 K33a sinU3.
Несложные вычисления показывают, что VqQ3 =
= a2 sin U 3cos U3. Таким образом, для данного тензорного поля Kj равенство (3) выполнено.
Замечание 5. Непосредственные вычисления показывают, что для указанного в предыдущем примере представления Лакса будут также выполнены необходимые условия существования представления Лакса со значениями в алгебре so(3), полученные в [3]. На самом деле, нетрудно видеть, что эти необходимые условия будут выполнены и для комплексного представления Лакса в случае, когда матрица S“ невырождена.
Далее будем изучать представление Лакса частного случая систем кирального типа, а именно: систем уравнений киральных полей. Напомним, что уравнения киральных полей или «чистые» нелинейные сигма-модели со значениями в пространстве аффинной связности отличаются от систем вида (1) условием Q' = 0 .
Замечание 6. Из представления Лакса без спектрального параметра для системы кираль-ного типа Q' Ф 0 с помощью замены х ^ Ах, у ^ Ху получается представление Лак-са с параметром. В случае же уравнений ки-ральных полей, вообще говоря, не известен способ получения представления Лакса с параметром из представления без параметра. Чтобы различить эти два случая, далее представление Лакса, не содержащее параметра, будем называть представлением нулевой кривизны.
Приведем инвариантную характеризацию систем киральных полей, допускающих представление нулевой кривизны специального вида.
Определение 2 (см., например, [4]). Аффинная связность на однородном пространстве М = G / Н называется связностью с однородным тензором кривизны, если тензор кривизны связности инвариантен относительно действия группы О.
Теорема 3. Пусть О / Н - локально симметрическое и-мерное пространство, и его структурные уравнения имеют вид (см., например, [5]):
dф“1 = 0,2 ет 2 ЛфР1, (7)
d0a2 = С^Л^2 + Ср>* ЛфР1, (8)
где а; = 1,п, а2 = п + 1,&т О и в некоторой
локальной системе координат и 1,и2. ип выполнены равенства:
ф:1 = Я:1 йи', 0“2 = Т: 2 йи'.
Пусть Vп - пространство аффинной связности без кручения, и система уравнений кираль-ных полей со значениями в Vn допускает представление нулевой кривизны вида:
фа = Я"1 (и‘хйх - иуйу), | Я"1 |ф 0 ,
Тогда пространство Vп является пространством с однородным тензором кривизны.
Доказательство. Во-первых, заметим, что по условию формы ф:1, 0а2 образуют базис левоинвариантных форм на группе О и формы юр! = С(а1у20Т2 определяют каноническую связность симметрического пространства. После перехода к этим формам уравнения (7), (8) принимают вид:
где - тензор кривизны канонической связ-
ности симметрического пространства О/Н.
Пусть система киральных полей со значениями в Vп допускает указанное представление нулевой кривизны. Определим формы 5£ равенствами: 5£ = Т '<2 йи'. Тогда из условия
представления нулевой кривизны получим:
Покажем, что формы 5а1 определяют связность пространства Vn, т.е. вместе с формами
а1 = £а йи1 удовлетворяют структурным уравнениям аффинной связности:
Действительно, определяя коэффициенты связности пространства Vп с помощью подстановки соотношений (9) в уравнения (7), получим
В свою очередь из уравнений (10) находим
] = СЧ ф)2 5|]:. Отсюда и из (12) получим
/2 что совпадает с
формулами преобразования коэффициентов связности (см., например, [6, с. 151]).
Осталось доказать, что пространство аффинной связности со структурными уравнениями (10), (11) является пространством с однородным тензором кривизны. Действительно, на симметрическом пространстве О / Н группа О дейст-
вует левыми сдвигами, причем формы ф“:, 5а1
левоинвариантны. Действуя преобразованиями группы О на обе части равенства
Яаифт: лф5:=й5а: -5а:л 5^, приходим к
условиям: Г г (фи фТ: Лф5: )= Г г (- яи
ФТ:Л ф5: ) = - L* г ( йЩ -5^Л 5* ) = - (йЦ1 --</ Л 5*) = - фТ:Л ф5:= Л^А ф* Лф51.
Поэтому L* г ( ЯТРС1:У:5: ) = ЯТРС1:У:5: .
Автор выражает благодарность М.И. Кузнецову, Н.А. Степанову и Ю.В. Тузову за полезные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2011 годы, контракт № П945.
1. Баландин А.В., Кащеева О.Н. // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3. С. 1-23.
2. Balandin A. V., Pakhareva O. N., Potemin G. V. // Phys. Lett. A. 2001. V. 283. № 3-4. P. 1б8-17б.
3. Баландин А.В. // Вестник ННГУ. 2011. № 1.
4. Opozda B. // AMS Proc. 199б. V. 124. № б. P. 1889-1893.
5. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 19б4. 533 с.
6. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М., 1975. 348 с.
NECESSARY CONDITIONS FOR LAX REPRESENTATION OF CHIRAL TYPE SYSTEMS
Some new invariant necessary conditions for Lax representation of chiral type systems have been obtained. Keywords: integrable systems, chiral-type systems, nonlinear sigma models, Lax representation.